留数理论是柯西积分定理的进一步发展，如果函数f(x)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，根据前面讲的柯西积分定理《如何证明复变函数论中的柯西积分定理》可知f(z)在周线C上的积分为0。这时的周线C必须是一个单连通区域内的周线，那么当a点是一个孤立奇点，这时包含周线C的区域不是一个单连通区域(有一个奇点a)，往往f(z)在周线C上的积分不为0。
定义1（留数）：
设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域 0<|z-a|<R内解析，则积分
这个积分叫作f(z)在点a的留数，记为
在前面的文章《洛朗级数与泰勒级数有什么关系？》里,洛朗级数的系数
现在来关注在无穷远点的留数。
注意这里的积分路径是负方向也就是顺时针方向。有的读者会疑问为何在无穷远点的留数积分路径为负方向，原因在于负方向的圆周绕着无穷远点则是正向了，因为无穷远点是在圆周之外。下面的定理把无穷远点的留数包含进来了。
定理2：
如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点），设为a1,a2,...,an,∞，则f(z)在各点的留数总和为0。
某些实定积分的计算用留数定理会简洁很多，这再一次印证了曾有数学家说的一句话：实数之间真理的最短路径经过复数。下面演示某些三角函数类的积分可以用留数定理计算。
只需要计算圆周内奇点的留数就能求出积分，对于原函数不易求的积分，这样的方法大大降低了积分求解的难度。
关于复变函数的介绍就到此为止